\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones 2020 27(2) : 289–303 cimpa – ucr issn: 1409-2433 (Print), 2215-3373 (Online)

doi: https:// doi. org/ 10.15517/ rmta. v27i2. 37284

un producto en el álgebra de clifford A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}) y sus aplicaciones

a product in the clifford algebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}) and it’s applicactions

Yanett Bolívar^{∗}  María Cortez^{†}

Received: 31/Jul/2019; Revised: 27/Jan/2020; Accepted: 6/Feb/2020

∗Universidad de Oriente, Departamento de Matemática, Cumaná, Venezuela. E-Mail: bolivarcolon@gmail.com

†Institución de Educación Privada Kids in Action, Trujillo, Perú. E-Mail: mjcb211093@gmail.com

290 y. bolívar — m. cortez

Resumen

Las álgebras de Clifford son álgebras asociativas y no conmutativas definidas a través de ciertas estructuras multiplicativas. En estas álgebras no siempre existe una fórmula explícita que permita expresar el producto entre los vectores de la base del espacio vectorial, tal como está propuesto en el álgebra A_{n} (ver [6]). En esta investigación se ofrece una expresión explícita para el producto de determinados elementos de la base del álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), lo cual representa la apertura para deducir cálculos que arrojen nuevos aportes en el análisis de Clifford con parámetros.

Palabras clave: álgebra de Clifford; producto de vectores; fórmula de Leibniz.

Abstract

Clifford algebras are associative and non-commutative algebras defined through certain multiplicative structures. In these algebras there is not always an explicit formula that allows expressing the product between the vectors of the base of the vector space, as it is proposed in the algebra A_{n} (see [6]). This research offers an explicit expression for the product of certain elements of the base of the algebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), which represents the opening to deduce calculations that yield new contributions in the Clifford analysis with parameters.

Keywords: Clifford algebra; vector product; Leibniz formula.

Mathematics Subject Classification: 15A66, 35N99.

1 Introducción

En los últimos años, el tema de los problemas de valores iniciales en las álgebras de Clifford ha sido abordado a través del método de los espacios asociados [7, 11, 12]. En el 2015, con la ayuda de la ecuación (1.1) editada en [6], los autores de [4] lograron resolver los problemas de valores iniciales planteados en el álgebra A_{n}. Posteriormente en el artículo [2], estos problemas se abordan en las álgebras de Clifford dependientes de parámetros A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). En estas publicaciones, entre otras [1, 5, 8, 9, 10, 13], previo a aplicar el método de los espacios asociados se determina una expresión, denominada fórmula de Leibniz, para calcular D(u, v), donde u y v son funciones dadas en el álgebra de Clifford considerada y D es el operador de Cauchy Riemann:

D = \frac{∂}{∂x_{0}} + ∑_{j=1}^{n} e_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} .  (1)

Inspirados en estos trabajos surgió el propósito de establecer una fórmula de Leibniz sobre funciones u y v con valores en el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). Previo a este resultado se proporciona el producto e_{i} e_{A} entre los elementos e_{i} y e_{A}, i ∈ {1, …, n}, A ∈ Γ_{n} = {0, 1, 2, …, n, 12, 13, …, 1n, …, 123 … n}, pertenecientes a la base del álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}).

2 Preliminares

Las álgebras de Clifford con parámetros se definen como clases de equivalencia sobre el anillo de polinomios R[X_{1}, …, X_{n}] con coeficientes reales, bajo las relaciones de equivalencia más generales que:

X_{j}^{k_{j}} + α_{j}(p) ∼ 0,
X_{j}X_{i} + X_{i}X_{j} − 2γ_{ij}(p) ∼ 0, i, j = 1, … n,

donde los valores k_{j} son enteros no negativos mayores e iguales a 2, α_{j}(p) y γ_{ij}(p) = γ_{ji}(p) son funciones de valores reales que dependen posiblemente de un parámetro p. Estas álgebras se denotan por:

A_{n}(p|k_{j}, α_{j}(p), γ_{ij}(p)) si n ≥ 2,
A_{1}(p|k, α(p)) si n = 1.

Cuando las funciones α_{j} y γ_{ij} no dependan del parámetro p, estas álgebras se denotarán por:

A_{n}(k_{j}, α_{j}, γ_{ij}) si n ≥ 2,
A_{1}(k, α) si n = 1.

Específicamente, en este trabajo se utilizará el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), que está dotada de las relaciones de estructuras:

e_{i}^{2} = −α_{i},
e_{i}e_{j} + e_{j}e_{i} = 2γ_{ij}, i, j = 1, …, n, i ≠ j.

El vector e_{A} perteneciente a la base del álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), suele denotarse e_{A} = e_{h_{1}···h_{r}} donde A = {h_{1}, ⋯, h_{r}} ⊆ {1, ⋯, n} además tenemos que recordar que 1 ≤ h_{1} < ⋯ < h_{r} ≤ n. Además, si A = ∅, entonces e_{A} = e_{0} = 1. Así, cada elemento a en A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}) se representa a = ∑_{A∈Γ_{n}} a_{A}e_{A}, donde a_{A} ∈ ℝ y Γ_{n} = {0, 1, 2, …, n, 12, 13, …, 1n, …, 123 … n}. Se usará la notación Γ_{n}^{∗}, para el conjunto Γ_{n} − {0}.

Sea Ω un conjunto de ℝ^{n+1}. Las funciones u definidas en Ω y con valores en el álgebra A_{n} estarán definidas como:

u(x) = ∑_{A∈Γ_{n}} u_{A}(x)e_{A}, x = (x_{0}, …, x_{n}) ∈ Ω,

donde cada u_{A} es una función de valor real.

Se dirá que la función u posee cierta propiedad (continuidad, diferenciabilidad, entre otras) si cada función u_{A}, A ∈ Γ_{n}, posee esas propiedades.

Definición 1 Sea Ω un dominio en ℝ^{n+1} y u una función definida y de clase C^{1} en Ω, con valores en las álgebras de Clifford. Se dice que la función u es monogénica a la izquierda (derecha) si satisface la ecuación:

Du = 0 (uD = 0).

3 Resultados previos

En el álgebra A_{n} (ver [6]) se establece el producto:

e_{A}e_{B} = (−1)^{#(A∩B)}(−1)^{P (A,B)}e_{AΔB},

donde #A representa la cardinalidad del conjunto A:

P (A, B) = ∑_{j∈B} P (A, j),  (2)

P (A, j) = #{i ∈ A : i > j}.  (3)

Los conjuntos A, B y AΔB (diferencia simétrica entre A y B) están ordenados en la forma prescrita.

La expresión (2) sigue siendo válida en el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). En las próximas demostraciones se usará la fórmula:

P ({i}, A) = #{j ∈ A : i > j}.  (4)

Si A ∈ Γ_{n}^{∗} e i ∈ {1, …, n}, entonces se establecen las siguientes condiciones: I) #A es impar e i ∉ A II) #A es par e i ∈ A.

Lema 1 Si los conjuntos A e {i} satisfacen las condiciones I) o II), entonces:

ω(i, A) = (−1)^{p({i},A)} − (−1)^{p(A,{i})} ≠ 0.

Demostración. Sea A = {h_{1}, h_{2}, ⋯, h_{s}, h_{s+1}, ⋯, h_{r}}. Luego, #A = r. Si se considera válida la condición I), entonces se escoge:

h_{1} < h_{2} < ⋯ < h_{s} < i < h_{s+1} < ⋯ < h_{r}.

De este modo, p(A,{i}) = r − s y p({i}, A) = s. Ahora, siendo r impar se tiene:

ω_{i,A} = (−1)^{s} − (−1)^{r−s} = [1 − (−1)^{r}] (−1)^{s} = 2(−1)^{p({i},A)}.

Por otro lado, si la condición II) se satisface, entonces se considera:

h_{1} < h_{2} < ⋯ < h_{s} < h_{s+1} = i < h_{s+2} < ⋯ < h_{r}.

Así, p(A, {i}) = r − s − 1 y p({i}, A) = s. De la condición r es par, se cumple:

ω_{i,A} = (−1)^{s} − (−1)^{r−s−1} = [1 + (−1)^{r−1}] (−1)^{s} = 2(−1)^{p({i},A)}.

Así, se concluye la prueba.

Si los conjuntos {i} y A ∈ Γ_{n}^{∗}, i ∈ {1, …, n}, satisfacen las condiciones I) o II), entonces se escribirá (i, A) ∈ Φ. Así, la función ω(i, A) establecida en (1), se reduce a:

ω(i, A) = 2(−1)^{p({i},A)},

siempre que (i, A) ∈ Φ.

En las próximas demostraciones los conjuntos A_{k} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}} y A_{k+1} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}, h_{k+1}} se consideran como elementos en Γ_{n}. Además, a continuación se etiquetarán todas las posibles relaciones entre los elementos del conjunto A_{k+1} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}, h_{k+1}} y el elemento i ∈ {1, …, n}:

h_{1} < ⋯ < h_{s−1} < h_{s} = i < h_{s+1} < ⋯ < h_{k} < h_{k+1},  (5)
h_{1} < ⋯ < h_{s−1} < h_{s} < i < h_{s+1} < ⋯ < h_{k} < h_{k+1},  (6)
i < h_{1} < ⋯ < h_{k} < h_{k+1},  (7)
h_{1} < ⋯ < h_{k} < i < h_{k+1},  (8)
i = h_{k+1},  (9)
h_{1} < h_{2} < ⋯ < h_{k+1} < i.  (10)

Lema 2 Sean A_{k} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}} y A_{k+1} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}, h_{k+1}} elementos en Γ_{n} e i ∈ {1, …, n}, entonces:

P (\{i\}, A_{k+1}) = \{ \begin{matrix}P (\{i\}, A_{k}), & i ≤ h_{k+1} \\ P (\{i\}, A_{k}) + 1, & i > h_{k+1}. \end{matrix}

Demostración. Si se considera i ≤ h_{k+1}, entonces los casos (5)-(9) permiten obtener:

P ({i}, A_{k+1}) = s − 1,
P ({i}, A_{k+1}) = s,
P ({i}, A_{k+1}) = 0,
P ({i}, A_{k+1}) = k,
P ({i}, A_{k+1}) = k

respectivamente, así

P ({i}, A_{k}) = P ({i}, A_{k+1}).

Por otro lado, la condición i > h_{k+1} corresponde al caso (10). De este modo, se tiene P ({i}, A_{k+1}) = k + 1 y P ({i}, A_{k}) = k. Concluyendo así la demostración.

Proposición 1 Sean A_{k} y A_{k+1} elementos en Γ_{n} e i ∈ {1 … n}.

i) Si i ≠ h_{k+1}, entonces:

{i} ∩ A_{k} = {i} ∩ A_{k+1}.  (11)

ii) Si i = h_{k+1}, entonces:

{i} ∩ A_{k} = ∅ y {i} ∩ A_{k+1} = h_{k+1}.

Demostración. Sean A_{k} y A_{k+1} elementos en Γ_{n} e i ∈ {1 … n}. Para demostrar i) Se requiere examinar varios casos. Si se considera el establecido en (5), se obtiene:

{i} ∩ A_{k} = {i} ∩ A_{k+1} = {h_{s}}.

Por otra parte, si se verifican las condiciones (6), (7), (8) y (10), se cumple:

{i} ∩ A_{k} = {i} ∩ A_{k+1} = ∅.

Finalmente, de acuerdo con las estructuras de los conjuntos A_{k} y A_{k+1}, la comprobación de ii) es inmediata.

Proposición 2 Sean A_{k} y A_{k+1} en Γ_{n} e i ∈ {1, …, n}, entonces:

e_{iΔA_{k}} e_{h_{k+1}} = \{ \begin{matrix}e_{iΔA_{k+1}}, & i < h_{k+1} \\ −α_{h_{k+1}}e_{iΔA_{k+1}}, & i = h_{k+1} \\ 2γ_{h_{k+1},i}e_{A_{k}} − e_{iΔA_{k+1}}, & i > h_{k+1}. \end{matrix}  (12)

Demostración. Sean A_{k} y A_{k+1} elementos en Γ_{n} e i ∈ {1, …, n}. Observe que, bajo la condición i < h_{k+1} se consideran los casos (5), (6), (7) y (8). De este modo, se llega a los siguientes resultados:

e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{s−1}h_{s+1}···h_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{s−1}h_{s+1}···h_{k}h_{k+1}} = e_{iΔA_{k+1}},

e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{s}ih_{s+1}···h_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{s}ih_{s+1}···h_{k}h_{k+1}} = e_{iΔA_{k+1}},

e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{ih_{1}···h_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{ih_{1}···h_{k}h_{k+1}} = e_{iΔA_{k+1}},
e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{k}i}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{k}ih_{k+1}} = e_{iΔA_{k+1}},

respectivamente.

Por otro lado, si i = h_{k+1} entonces:

e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{k}h_{k+1}}e_{h_{k+1}} = −α_{h_{k+1}}e_{iΔA_{k+1}}.

Finalmente, el caso i > h_{k+1} implica:

e_{iΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{k}i}e_{h_{k+1}} = e_{h_{1}···h_{k}}(2γ_{h_{k+1},i} − e_{h_{k+1}i})
= 2γ_{h_{k+1},i}e_{A_{k}} − e_{iΔA_{k+1}}.

De este modo se comprueba (12).

4 Fórmula producto en A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij})

Sean e_{i} y e_{A} elementos pertenecientes a la base del álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), i ∈ {1, …, n} y A ∈ Γ_{n}. El propósito de esta sección es establecer el producto e_{i} e_{A} (denotado e_{iA}) en el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}).

En el próximo teorema el caso A = ∅ no se considera por ser evidente.

Teorema 1 Sean i ∈ {1, …, n} y A ∈ Γ_{n}. Entonces:

e_{iA} = α_{{i}∩A}(−1)^{n({i}∩A)}(−1)^{P ({i},A)}e_{{i}ΔA}
+2 ∑_{j<i,j∈A}(−1)^{P ({j},A)}γ_{ji}e_{{j}ΔA},  (13)

donde α_{0} = 1.

Demostración. La demostración se abordará usando inducción matemática sobre el cardinal del conjunto A, denotado #A. Si #A = 1 la fórmula (13) se cumple. En efecto, considerando A = {i}, se verifica e_{i} e_{i} = −α_{i}. Por otro lado, si A = {j} y i < j, entonces e_{i} e_{j} = e_{i} e_{j}. Finalmente, si j < i se cumple e_{i} e_{j} = −e_{j} e_{i} + 2γ_{ij}. Ahora, supóngase que la expresión (13) es válida para #A = k, entonces se demostrará que esta fórmula también se cumple para el caso #A = k + 1.

Considerando A_{k+1} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}, h_{k+1}} como elemento en Γ_{n}, se comprobará que dicho conjunto satisface (13). Por inducción, la expresión (13) es válida para A_{k} = {h_{1}, h_{2}, …, h_{k}}, entonces multiplicándola a la derecha por el vector e_{h_{k+1}}, se obtiene:

e_{iA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{iA_{k+1}} = α_{{i}∩A_{k}}(−1)^{n({i}∩A_{k})}(−1)^{P ({i},A_{k})}e_{{i}ΔA_{k}}e_{h_{k+1}}
+2 ∑_{j<i,j∈A_{k}}(−1)^{P (j,A_{k})}γ_{ji}e_{{j}ΔA_{k}}e_{h_{k+1}}.  (14)

Si se considera el caso i < h_{k+1}, del Lema 2, de la Proposición 1 y de la Proposición 2 surge:

e_{iA_{k+1}} = α_{i∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k+1})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}e_{iΔA_{k+1}}

+2 ∑_{j<i,j∈A_{k}}(−1)^{P ({j},A_{k+1})}γ_{ji}e_{jΔA_{k+1}}.

Puesto que j < i < h_{k+1}, entonces:

e_{iA_{k+1}} = α_{i∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k+1})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}e_{iΔA_{k+1}}

+2 ∑_{j<i,j∈A_{k+1}}(−1)^{P ({j},A_{k+1})}γ_{ji}e_{jΔA_{k+1}},

verificándose así (14). Para el caso i = h_{k+1}, se aplica el Lema 2 y la Proposición 2, luego:

e_{iA_{k+1}} = α_{0}(−1)^{0}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}(−1)α_{k+1}e_{{i}ΔA_{k+1}}
+2 ∑_{j<i,j∈A_{k}}(−1)^{P ({j},A_{k})}γ_{ji}e_{jΔA_{k}}e_{k+1}.  (15)

Puesto que j < i < h_{k+1}, se sigue cumpliendo P ({j}, A_{k+1}) = P ({j}, A_{k}) y e_{jΔA_{k}}e_{k+1} = e_{jΔA_{k+1}}. Por otro lado considerando (1), la ecuación (15) puede escribirse:

e_{iA_{k+1}} = α_{{i}∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k+1})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}e_{{i}ΔA_{k+1}}

+2 ∑_{j<i,j∈A_{k+1}}(−1)^{P ({j},A_{k+1})}γ_{ji}e_{{j}ΔA_{k+1}}.

Resta demostrar el caso h_{k+1} < i. Fíjense que, como j ∉ A_{k+1} solo debe considerarse el caso j ≤ h_{k+1}. Usando nuevamente la expresión (14), se aplicará el Lema 2 y la Proposición 2, de modo que:

e_{iA_{k+1}} = α_{{i}∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})−1}[2γ_{h_{k+1},i}e_{A_{k}} − e_{iΔA_{k+1}}]
+2 ∑_{j<i,j∈A_{k}}(−1)^{P ({j},A_{k})}γ_{ji}e_{{j}ΔA_{k}}e_{h_{k+1}}.  (16)

Observe que α_{{i}∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k})} = 1. Además si j ≤ h_{k+1}, entonces: e_{{j}ΔA_{k}}e_{h_{k+1}} = e_{{j}ΔA_{k+1}}. Así, la expresión (16) se puede reescribir como:

e_{iA_{k+1}} = α_{{i}∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k+1})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}e_{{i}ΔA_{k+1}}

−2(−1)^{P ({i},A_{k+1})}γ_{h_{k+1},i}e_{A_{k}}

+2 ∑_{j<i,j∈A_{k}}(−1)^{P ({j},A)}γ_{ji}e_{{j}ΔA_{k+1}}.

El término 2(−1)^{P ({i},A_{k+1})}γ_{h_{k+1},i}e_{A_{k}} puede incluirse en la última sumatoria a través de la igualdad (−1)^{P ({i},A_{k+1})+1} = (−1)^{P ({h_{k+1}},A_{k+1})}. Finalmente, siendo A_{k} = {h_{k+1}}ΔA_{k+1}, se consigue el resultado:

e_{iA_{k+1}} = α_{{i}∩A_{k+1}}(−1)^{n({i}∩A_{k+1})}(−1)^{P ({i},A_{k+1})}e_{{i}ΔA_{k+1}}

+2 ∑_{j<i,j∈A_{k+1}}(−1)^{P ({j},A_{k+1})}γ_{ji}e_{{j}ΔA_{k+1}}.

Todo lo examinado, permite concluir la prueba.

De modo análogo se cumple, el lema 3.

Lema 3 Sean i ∈ {1, …, n} y A ∈ Γ_{n}. Entonces:

e_{Ai} = α_{{i}∩A}(−1)^{n({i}∩A)}(−1)^{P (A,{i})}e_{{i}ΔA}
+2 ∑_{j>i,j∈A}(−1)^{P ({j},A)}γ_{ij}e_{{j}ΔA}.  (17)

5 Aplicaciones

En esta sección, usando las expresiones (13) y (17), se plantea una expresión alternativa a la presentada en [2] para calcular D(u, v) donde u y v son funciones en el álgebra de Clifford dependientes de parámetro A_{n}(2, α_{i}, γ_{ij}).

Lema 4 Sean:

u = ∑_{A∈Γ_{n}} u_{A}e_{A} y v = ∑_{A∈Γ_{n}} v_{A}e_{A},  (18)

funciones de clase C^{1} con valores en A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). Entonces:

D(u, v) = D(u) v + ∑_{i=0}^{n} e_{i} u ∂_{i}(v).

Demostración: Sean u y v funciones de clase C^{1} con valores en A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}) de la forma (18). Aplicando el operador de Cauchy-Riemann generalizado sobre el producto u v y usando el Lema 3.1.1 de [3], resulta:

D(u, v) = ∑_{i=0}^{n} e_{i} (∂_{i}(u) v + u ∂_{i}(v))

= ∑_{i=0}^{n} e_{i} ∂_{i}(u) v + ∑_{i=0}^{n} e_{i} u ∂_{i}(v)  (19)

= D(u) v + ∑_{i=0}^{n} e_{i} u ∂_{i}(v).

Teorema 2 Considérense las funciones u y v de la forma (18), de clase C^{1} y con valores en el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). Entonces, es válida la expresión:

D(u, v) = D(u) v + u D(v)  (20)

+ ∑_{i=1}^{n} ∑_{A∈Γ_{n}} [α_{{i}∩A}(−1)^{n({i}∩A)}ω_{i,A}e_{{i}ΔA}

+2 ∑_{j<i,j∈A}(−1)^{P ({j},A)}γ_{ji}e_{{j}ΔA}

− ∑_{j>i,j∈A}(−1)^{P (A,{j})}γ_{ij}e_{{j}ΔA}]u_{A}∂_{i}v.

un producto en el álgebra de clifford… 299 Demostración. Por el Lema 4,

D(u, v) = D(u) v + ∑_{i=0}^{n} ∑_{A∈Γ} u_{A} e_{i} e_{A} ∂_{i}(v).

Considerando la diferencia de las expresiones (13) y (17) queda:

e_{i} e_{A} = e_{A} e_{i} + α_{{i}∩A}(−1)^{n({i}∩A)}((−1)^{P ({i},A)} − (−1)^{P (A,{i})})e_{{i}ΔA}

+2 ∑_{i=1}^{n} ∑_{A∈Γ_{n}} [ ∑_{j∈A, j<i}(−1)^{p({i},A)}γ_{ji}e_{(A△{j})}

− ∑_{j∈A, j>i}(−1)^{p(A,{i})}γ_{ij}e_{(A△{j})}]u_{A}∂_{i}v,  (21)

donde i, j = 1, … n. Sustituyendo esta última expresión en (21) y designando:

ω(i, A) = (−1)^{P ({i},A)} − (−1)^{P (A,{i})},

se obtiene de inmediato (20). Corolario 1 Considérense las funciones u y v de la forma (18), de clase C^{1} y con valores en el álgebra A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}). Entonces es válida la expresión:

D(u, v) = D(u) v + u D(v)
+2 ∑_{i=1}^{n} ∑_{(i,A)∈Φ} α_{{i}∩A}(−1)^{p({i},A)}e_{{i}ΔA}u_{A}∂_{i}v (22)

+2 ∑_{i=1}^{n} ∑_{A∈Γ_{n}} [ ∑_{j<i,j∈A}(−1)^{P ({j},A)}γ_{ji}e_{{j}ΔA}

− ∑_{j>i,j∈A}(−1)^{P (A,{j})}γ_{ij}e_{{j}ΔA}]u_{A}∂_{i}v.  (23)

5.1 Caso n = 2 y n = 3

Ahora se revisa la fórmula D(u, v) en el caso n = 2 y n = 3. A través del Teorema 2, si n = 2, entonces Γ_{2} = {0, 1, 2, 12}. De este modo, en el álgebra A_{2}(2, α_{1}, α_{2}, γ) se obtiene:

D(u, v) = D(u) v + u D(v)

+(α_{{1}∩{2}}(−1)^{n({1}∩{2})}ω_{(1,{2})}e_{12}

−2(−1)^{P ({2},{2})}γe_{{0}})u_{2}∂_{1}v

+(α_{{2}∩{1}}(−1)^{n({2}∩{1})}ω_{(2,{1})}e_{12}

+2(−1)^{P ({1},{1})}γe_{{0}})u_{1}∂_{2}v

+(α_{{1}∩{1,2}}(−1)^{n({1}∩{1,2})}ω_{(1,{1,2})}e_{2}

−2(−1)^{P ({1,2},{1})}γe_{{1}}))u_{12}∂_{1}v

+(α_{{2}∩{1,2}}(−1)^{n({2}∩{1,2})}ω_{(2,{1,2})}e_{1}

+2(−1)^{P ({1},{1,2})}γe_{{2}}))u_{12}∂_{2}v.

De los valores p({1}, A) = 0, A ∈ Γ_{2}, y

p({2}, {2}) = 0, p({2}, {1}) = p({2}, {1, 2}) = p({1, 2}, {1}) = 1.

ω(1, {2}) = ω(1, {1, 2}) = 2, ω(2, {1}) = ω(2, {1, 2}) = −2,

se obtiene:

D(u, v) = D(u) v + u D(v)

+2(−γu_{2}e_{0} + 2γe_{1}u_{12} − α_{1}e_{2}u_{12} + u_{2}e_{12})∂_{1}v

+2(γu_{1}e_{0} + α_{2}e_{1}u_{12} + 2γe_{2}u_{12} − u_{1}e_{12})∂_{2}v.

Observe que esta expresión coincide con los resultados obtenidos en [2]. un producto en el álgebra de clifford… 301

Si n = 3, entonces Γ_{3} = {0, 1, 2, 3, 12, 13, 23, 123}. De acuerdo con el resultado (20), a través de los valores p({1}, A) = 0, A ∈ Γ_{3},

ω(1, {2}) = ω(1, {3}) = ω(2, {3}) = ω(1, {1, 2}) ω(1, {1, 3}) = ω(2, {2, 3}) = 2 ω(2, {1}) = ω(3, {1}) = ω(3, {2}) = ω(2, {1, 2}) ω(3, {1, 3}) = ω(3, {2, 3}) = −2

y p({2}, {1}) = p({2}, {1, 2}) = p({2}, {1, 3}) = p({2}, {1, 2, 3}) = 1 p({3}, {1}) = p({3}, {2}) = p({3}, {1, 3}) = p({3}, {2, 3}) = 1 p({3}, {1, 2}) = p({3}, {1, 2, 3}) = 2.

Así, en el álgebra A_{3}(2, α_{1}, α_{2}, α_{3}, γ_{12}, γ_{13}, γ_{23}), se obtiene:

D(u, v) = D(u) v + u D(v)

+2[(−γ_{12}u_{2} − γ_{13}u_{3})e_{0} + (−γ_{12}u_{12} − γ_{13}u_{13})e_{1} +(−α_{1}u_{12} − γ_{13}u_{23})e_{2} + (−α_{1}u_{13} + γ_{12}u_{23})e_{3} +(u_{2} − γ_{13}u_{123})e_{12} + (u_{3} + γ_{12}u_{123})e_{13}]∂_{1}v +2[(u_{1} + γ_{23}u_{3})e_{0} + (α_{2}u_{12} + γ_{12}u_{12} − γ_{12}u_{12})e_{1} +(γ_{12}u_{12} − γ_{23}u_{23})e_{2} + (−γ_{12}u_{13} − α_{2}u_{23})e_{3} +(u_{1} − γ_{23}u_{123})e_{12} + (u_{3} + γ_{12}u_{123})e_{23}]∂_{2}v +2[(γ_{13}u_{1} − γ_{23}u_{2})e_{0} + (α_{3}u_{13} + γ_{23}u_{1})e_{1} +(−α_{3}u_{23} + γ_{13}u_{2})e_{2} + (γ_{23}u_{23} + γ_{13}u_{13})e_{3} +(−u_{1} − γ_{23}u_{123})e_{13} + (−u_{2} + γ_{13}u_{123})e_{23}]∂_{3}v.

Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN print: 1409-2433; online: 2215-3373) Vol. 27(2): 289–303, Jul–Dec 2020

Hasta ahora, en el álgebra de Clifford con parámetros A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}), no existe un producto análogo al obtenido en [6] sobre el álgebra de Clifford A_{n}, sin embargo la presente investigación propone el Teorema 1 como una herramienta para obtener la deseada generalización.

Además, debe destacarse que lo novedoso de los resultados planteados en el Teorema 1 y el Teorema 2 radica en que los cálculos expuestos vienen expresados explícitamente en función de los valores α_{i} y γ_{ij}, i, j = 1, … n. Consecuentemente, en el análisis de Clifford A_{n}(2, α_{j}, γ_{ij}) los cálculos resultan más efectivos.

Agradecimientos y reconocimiento

Las autoras agradecen a la profesora Carmen Judith Vanegas por su motivación permanente en la investigación en el área de Análisis de Clifford. Esta investigación es fruto de una Tesis de Pregrado de la Universidad de Oriente. Reconocemos el gran aporte de esta institución en la formación académica de los jóvenes venezolanos en el oriente del País.

Fuentes de financiamiento

Esta investigación fue parcialmente financiada por el Consejo de Investigación de la Universidad de Oriente, a través del proyecto intitulado: “Estudio de Problemas de Valores Iniciales de las álgebras de Clifford”, con el código CI −02− 010200 − 1945 − 15.

Referencias

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