© Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones 2022 29(1) : 39–52 cimpa – ucr issn: 1409-2433 (Print), 2215-3373 (Online)

doi: https:// doi. org/ 10.15517/ rmta. v29i1. 45440

aproximación trigonométrica en espacios lipschitz

trigonometric approximation in lipschitz spaces

Gerardo Martínez-Guzmán^{∗} María Beatríz Bernábe Loranca^{†}

Mariano Larios Gómez^{‡}  Jorge Ruiz Vanoye^{§}

Received: 4/Mar/2021; Revised: 11/Nov/2021; Accepted: 8/Dec/2021

∗Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ciencias de la Computación, Puebla, México. E-Mail: gmartinez54@hotmail.com

†Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ciencias de la Computación, Puebla, México. E-Mail: beatriz.bernabe@gmail.com

‡Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Facultad de Ciencias de la Computación, Puebla, México. E-Mail: mariano.larios@correo.buap.mx

§Universidad Politécnica de Pachuca, Departamento de Ingeniería de Software, Pachuca, México. E-Mail: jorge@ruizvanoye.com

40 g. martínez — m. bernábe — m. larios — j. ruiz

Abstract

La aproximación por polinomios trigonométricos generalizados para funciones de Lipschitz, definidas en ciertos grupos depende de algunas propiedades de la métrica definida en el grupo. Métricas donde esta aproximación es posible son llamadas Lipschitz compatibles. En este trabajo damos para cierta clase de grupos, condiciones donde las métricas Lipschitz compatibles son acotadamente equivalentes, es decir, generan el mismo espacio de Lipschitz. En particular, para el grupo multiplicativo de números complejos con norma uno las condiciones son necesarias y suficientes para que las métricas Lipschitz compatibles sean acotadamente equivalentes.

Keywords: espacios de Lipschitz; métricas invariantes; polinomios trigonométricos; grupos topológicos; espacio dual.

Resumen

The approximation by generalized trigonometric polynomials for Lipschitz defined functions in certain groups depends on some properties of the group defined metric. Metrics which allow this approximation are called Lipschitz compatible. In this work we give for certain class of groups, conditions under which Lipschitz compatible metrics are boundedly equivalent, i.e., they generate the same Lipschitz space. In particular, for the multiplicative group of modulus one complex numbers the conditions are necessary and sufficient for the compatible Lipschitz metrics to be boundedly equivalent.

Keywords: Lipschitz spaces; invariant metrics; trigonometric polynomials; topological groups; dual space.

Mathematics Subject Classification: 51F30, 32F45, 41A10, 28C10, 47L50.

1 Introducción

Sea T el grupo de números complejos con norma igual a uno, con el producto de números complejos como operación. Un carácter, de un grupo abeliano localmente compacto, es una función continua χ:G→T, tal que, para todo x, y ∈ G se tiene que χ(xy) = χ(x)χ(y). Esto es, χ es un morfismo de grupos. Los caracteres de G forman ellos mismos un grupo abeliano bajo la multiplicación puntual, esto es, para todo x ∈ G, (χ_{1} + χ_{2})(x) = χ_{1}(x)χ_{2}(x).

En el grupo de caracteres de un grupo abeliano localmente compacto, se define la topología compacta abierta que lo convierte en un grupo topológico localmente compacto. Este grupo es llamado el grupo dual de G y se denota por Γ [4], [5].

Definición 1 Sea G un grupo topológico abeliano, una métrica d en G, se dice que es invariante si ∀ g, h, k ∈ G, d(kg, kh) = d(g, h)

Definición 2 Dos métricas d_{1} y d_{2} en G son llamadas acotadamente equivalentes si y sólo si existen números positivos A y B, tales que, para cualesquiera x, y ∈ G,

Ad_{1}(x, y) ≤ d_{2}(x, y) ≤ Bd_{1}(x, y)

Las métricas d_{1} y d_{2} se dicen equivalentes si y sólo si el mapeo identidad Id : (G, d_{1}) → (G, d_{2}) es un homeomorfismo. Es decir, las topologías inducidas por las métricas d_{1} y d_{2} coinciden. Por supuesto que la equivalencia acotada implica la equivalencia. Aplicaciones de métricas invariantes en grupos pueden encontrarse en [1], [6], [8].

Teorema 1 Si un grupo G es compacto y metrizable, entonces su grupo dual Γ es discreto y numerable [2].

2 Espacios de Lipschitz en grupos topológicos

Definiremos los espacios de Lipschitz en un grupo topológico localmente compacto, con una métrica invariante cuya topología generada coincide con la topología del grupo [3], [9].

Definición 3 Sea G un grupo abeliano localmente compacto con una métrica d invariante y sean f ∈ C(G) conjunto de funciones continuas en G y 0 < α ≤ 1, definimos:

θ_{α}(f) := sup_{δ>0} \{\frac{|f(x) − f(y)|}{d(x, y)^{α}} : 0 < d(x, y) ≤ δ\}

Entonces los espacios de Lipschitz se definen como:

Lip_{α}(G) := {f ∈ C(G)/θ_{α}(f) < ∞} .

El espacio de Lip_{α}(G) es un espacio normado con la norma [2], definida como:

||f||_{α} := max(||f||_{∞}, θ_{α}(f)).

Cualquier función de la forma

p(x) = ∑_{j=1}^{k} a_{j}γ_{j}(x).  (1)

donde γ_{j} ∈ Γ, a_{j} ∈ ℂ es llamado un polinomio trigonométrico generalizado en G. Es conocido que si G es compacto entonces el conjunto P(G), de todos los polinomios trigonométricos generalizados, es una ℂ-álgebra y separa puntos. Así, por el teorema de Stone Weierstrass, P(G) es denso en C(G) [5]. Estamos particularmente interesados en estudiar la aproximación de funciones que están en Lip_{1}(G) por polinomios trigonométricos generalizados en G. Es decir, aproximación por funciones del tipo (1). En el caso G=T, los polinomios trigonométricos generalizados son precisamente los polinomios trigonométricos clásicos, pues Γ se identifica con ℤ y todo carácter es de la forma γ(x) = e^{inx} con n ∈ ℤ. Tomando en consideración lo anterior, consideramos en el resto del trabajo que el grupo G es topológicamente isomorfo a T^{r} para algún r ≥ 1.

Estamos interesados en las métricas que generan los mismos espacios de Lipschitz, lo que da lugar a citar el siguiente teorema:

Teorema 2 Considere dos métricas en G. Los espacios de Lipschitz generados por estas dos métricas coinciden si y solo si las métricas son acotadamente equivalentes [7].

Las métricas equivalentes en el sentido topológico, que son invariantes por traslación pero que no son equivalentemente acotadas como métricas, implican en general la presencia de diferentes espacios de Lipschitz. Es decir, los espacios de Lipschitz no están asociados exactamente con la estructura topológica del grupo sino con las métricas que lo definen.

Lo anterior nos plantea el problema de encontrar de alguna manera una distancia d dentro de un grupo de distancias en G, que sean invariantes por traslación y que nos garantice el mismo espacio de Lipschitz, donde podamos utilizar los polinomios generalizados en los problemas de aproximación, de manera similar a lo que ocurre con la aproximación trigonométrica usual.

Definición 4 Decimos que el grupo dual Γ es finitamente generado, si existe un conjunto de caracteres B = {χ_{1}, χ_{2}, …, χ_{r}} ⊆ Γ tal que si ϕ ∈ Γ, entonces es de la forma

ϕ = ∑_{i=1}^{r} n_{i}χ_{i}, n_{i} ∈ ℤ.

Si queremos trabajar la aproximación por polinomios trigonométricos generalizados en los espacios de Lipschitz la métrica debe satisfacer ciertas condiciones, por lo cual damos la siguiente definición.

Definición 5 Sea d una métrica en G×G que define la topología de G. Entonces decimos que d es Lipschitz compatible si satisface:

1. d es una métrica invariante en G.

2. Γ ⊆ Lip_{1}(G) con respecto a la métrica d.

Teorema 3 Sea G un grupo topológicamente isomorfo a T^{r} con r ≥ 1 cuyo dual Γ es generado por B = {χ_{1}, χ_{2}, …, χ_{r}}, según [5]. Entonces

1. la función

d_{B}(x, y) := Σ_{1≤i≤r}|χ_{i}(x) − χ_{i}(y)|,  (2)

es una métrica invariante que induce la topología de G.

2. Si B^{1} es otro generador finito de Γ y definimos d_{B^{1}} análogamente a d_{B}, estas distancias resultan acotadamente equivalentes.

3. La métrica d_{B} en G es Lipschitz compatible.

4. Si d es cualquier métrica Lipschitz compatible en G, existe una constante C tal que d_{B} ≤ Cd.

Demostración. 1. Como B = {χ_{1}, χ_{2}, …, χ_{r}} es generador de Γ, las funciones (χ_{i})_{1≤i≤r} separan puntos, de donde si x ≠ y, entonces d_{B}(x, y) ≠ 0. Los demás axiomas de métrica se verifican sin dificultad. Por otro lado, de la continuidad de los caracteres χ_{i} se deduce la continuidad de la inyección G → (G, d_{B}) por lo que es un homeomorfismo. Además, la métrica d_{B} es invariante, ya que,

|χ_{i}(xz) − χ_{i}(yz)| = |χ_{i}(x) − χ_{i}(y)|,  (3)

2. Primero demostraremos que para cualesquiera x_{j}, y_{j} ∈ T y n_{j} ∈ ℤ, existe una constante C ≥ 0, que depende de los n_{j}, pero no de los elementos x_{j}, y_{j}, tal que

| ∏_{1≤j≤r} x_{j}^{n_{j}} − ∏_{1≤j≤r} y_{j}^{n_{j}} | ≤ C ∑_{1≤j≤r} |x_{j} − y_{j}|.  (4)

En efecto, considere a, b, c y d números complejos en T y sean n, m ∈ ℤ, entonces los números a^{n}, c^{n}, b^{m} y d^{m} pertenece a T, en el caso que n o m sean negativos usando la igualdad a^{n} = (ā)^{−n}, además se cumple que |ā−c̄| = |a−c| y |b̄ − d̄| = |b − d|. Entonces,

|a^{n}b^{m} − c^{n}d^{m}| = |a^{n}b^{m} + b^{m}c^{n} − b^{m}c^{n} − c^{n}d^{m}|
= |b^{m}(a^{n} − c^{n}) + c^{n}(b^{m} − d^{m})|
≤ |a^{n} − c^{n}| + |b^{m} − d^{m}|.

Así obtenemos la desigualdad

|a^{n}b^{m} − c^{n}d^{m}| ≤ |a^{n} − c^{n}| + |b^{m} − d^{m}|.  (5)

Pero, sabemos que

a^{n} − c^{n} = (a − c)(a^{n−1} + a^{n−2}c + ⋯ + c^{n−1}).

Entonces tenemos

|a^{n} − c^{n}| ≤ n|a − c| y |b^{m} − d^{m}| ≤ m|b − d|.

Así, de (5) obtenemos

|a^{n}b^{m} − c^{n}d^{m}| ≤ n|a − c| + m|b − d|.  (6)

Usando inducción matemática, y la desigualdad (6), tenemos,

| ∏_{1≤j≤r} x_{j}^{n_{j}} − ∏_{1≤j≤r} y_{j}^{n_{j}} | ≤ ∑_{1≤j≤r} n_{j}|x_{j} − y_{j}| ≤ C ∑_{1≤j≤r} |x_{j} − y_{j}|. (7)

Con los n_{j} positivos y C = ∑ n_{j}. Dados los conjuntos de generadores B = {χ_{1}, χ_{2}, …, χ_{r}}, B^{1} = {δ_{1}, δ_{2}, …, δ_{s}} de Γ. Cada χ_{i} ∈ B se puede escribir en la forma:

χ_{i} = ∑_{1≤j≤s} n_{j,i}δ_{j}, n_{j,i} ∈ ℤ.

Entonces

|χ_{i}(x) − χ_{i}(y)| = | ∑_{1≤j≤s}(n_{j,i}δ_{j})(x) − ∑_{1≤j≤s}(n_{j,i}δ_{j})(y)|

= | ∑_{1≤j≤s}[δ_{j}(x)]^{n_{j,i}} − ∑_{1≤j≤s}[δ_{j}(y)]^{n_{j,i}} | .

Aplicando la desigualdad (7), tenemos

|χ_{i}(x) − χ_{i}(y)| ≤ C_{i} ∑_{1≤j≤s} |δ_{j}(x) − δ_{j}(y)| = C_{i}d_{B^{1}}(x, y)  (8)

por lo tanto,

d_{B}(x, y) ≤ C^{1}d_{B^{1}}(x, y)  (9)

donde C^{1} = ∑_{i} C_{i} no depende de x, y ∈ G. Procediendo de la misma manera, deducimos la existencia de otra constante C > 0, tal que, para todo x, y ∈ G,

d_{B^{1}}(x, y) ≤ Cd_{B}(x, y).  (10)

De (9) y (10) se concluye que d_{B} es acotadamente equivalente con d_{B^{1}}.

3. Ahora se puede ver fácilmente que d_{B} es Lipschitz compatible, pues d_{B} es invariante por (3), además por (8) se concluye que los χ_{i} están en Lip_{1}(G) para i = 1, …, r.

4. Si d es Lipschitz compatible, entonces χ_{i} ∈ Lip_{1}(G) respecto a la métrica d entonces

|χ_{i}(x) − χ_{i}(y)| ≤ Cd(x, y)

de la desigualdad anterior se sigue la afirmación.

Observe que las métricas

d_{B}(x, y) := ∑_{1≤i≤r} |χ_{i}(x) − χ_{i}(y)|

d(x, y) := max_{1≤i≤r} |χ_{i}(x) − χ_{i}(y)|

son acotadamente equivalentes, pues claramente tenemos,

d(x, y) ≤ d_{B}(x, y) ≤ rd(x, y).

Además, si d_{1}, d_{2}, …, d_{r} son métrica en G entonces d̃definida como,

d̃(x, y) = d_{1}(x, y) + d_{2}(x, y) + ⋯ + d_{r}(x, y)

es una métrica. La métrica d̃es acotadamente equivalente con la métrica

d̂(x, y) = max_{1≤i≤r}{d_{i}(x, y)}.  (11)

También observe que por las propiedades de los χ_{i} y la invariancia de la métrica d, podemos escribir,

\frac{|χ_{i}(x) − χ_{i}(y)|}{d(x, y)} = \frac{|χ_{i}(z) − 1|}{d(z, e)} con z = xy^{−1} ∈ G.

Rev.Mate.Teor.Aplic. (ISSN print: 1409-2433; online: 2215-3373) Vol. 29(1): 39–52, Jan–Jun 2022

3 Resultado principal

Una pregunta que nos planteamos es si las métricas Lipschitz compatibles son acotadamente equivalentes a la métrica d_{B}, es decir, si todas las métricas Lipschitz compatibles generan el mismo espacio de Lipschitz. El resultado que encontramos es que esto sucede en el grupo T, sin embargo, para el grupo T^{r} logramos encontrar condiciones bajo las cuales un grupo de métricas Lipschitz compatibles son acotadamente equivalentes con la métrica d_{B}, es decir, generan el mismo espacio de Lipschitz.

Teorema 4 Sea G un grupo topológicamente isomorfo a T^{r} con r ≥ 1, cuyo dual Γ es generado por B = {χ_{1}, χ_{2}, …, χ_{r}}. Si d es una métrica Lipschitz compatible en G, y para cada χ_{i} ∈ B existe una sucesión (x_{n}) en G tal que lim_{n→∞} d(x_{n}, e) = 0, donde e es el elemento identidad del grupo, y un 0 < M < 1 tal que para todo n ∈ ℕ se cumple

M ≤ \frac{|χ_{i}(x_{n+1}) − 1|}{d(x_{n}, e)}.  (12)

Entonces existe una métrica particular d̂ del tipo (11) asociada a la métrica d que es acotadamente equivalente a la métrica d_{B}.

Demostración. Sea χ_{i} ∈ B arbitrario, como χ_{i} es continuo y la sucesión (x_{n}) en G satisface lim_{n→∞} d(x_{n}, e) = 0, podemos suponer sin pérdida de generalidad que:

d(x_{1}, e) > d(x_{2}, e) > ⋯ > d(x_{n}, e) > d(x_{n+1}, e) > …

y

|χ_{i}(x_{1}) − 1| > |χ_{i}(x_{2}) − 1| > ⋯ > |χ_{i}(x_{n+1}) − 1| > …  (13)

Como d es Lipschitz compatible, existe un N > 0 tal que para cualquier χ_{i} y para todo x ∈ G, tenemos

|χ_{i}(x) − 1| ≤ Nd(x, e).

De esto y las desigualdades (12) y (13), se verifica que para cualquier χ_{i} y todo n ∈ ℕ

Md(x_{n+1}, e) ≤ |χ_{i}(x_{n+1}) − 1|  (14)
|χ_{i}(x_{n}) − 1| ≤ Nd(x_{n}, e)  (15)
Md(x_{n}, e) ≤ |χ_{i}(x_{n}) − 1|  (16)
|χ_{i}(x_{n+1}) − 1| ≤ Nd(x_{n+1}, e)  (17)
Md(x_{n}, e) ≤ | χ_{i}(x_{n+1}) − 1| ≤ Nd(x_{n+1}, e).  (18)

A partir de las desigualdades (15), (16), (17), (18) y (18) obtenemos,

\frac{M}{N} ≤ \frac{d(x_{n+1}, e)}{d(x_{n}, e)} ≤ \frac{N}{M} \frac{|χ_{i}(x_{n+1}) − 1|}{|χ_{i}(x_{n}) − 1|} ≤ \frac{N^{2}}{M^{2}} \frac{d(x_{n+1}, e)}{d(x_{n}, e)},

lo cual implica que para todo n ∈ ℕ,

\frac{M^{2}}{N^{2}} ≤ \frac{|χ_{i}(x_{n+1}) − 1|}{|χ_{i}(x_{n}) − 1|}.  (19)

Definimos en G, el subgrupo H_{χ_{i}} = {x ∈ G/χ_{i}(x) = 1} y consideramos el grupo cociente G/H_{χ_{i}} de todas las clases laterales, donde

x, y ∈ H_{χ_{i}}a ⇔ χ_{i}(x) = χ_{i}(y) = χ_{i}(a).

Ahora definimos en el grupo cociente G/H_{χ_{i}} la métrica d_{χ_{i}}^{∗}, como

d_{χ_{i}}^{∗}(H_{χ_{i}}a, H_{χ_{i}}b) = inf {d(x, y)/x ∈ H_{χ_{i}}a ∧ y ∈ H_{χ_{i}}b} .  (20)

La métrica d_{χ_{i}}^{∗} es una métrica invariante por traslación [2]. Denotamos H_{χ_{i}}a = ā. Por las propiedades del ínfimo, para todo u ∈ x̄ y todo v ∈ ȳ se cumple

d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ȳ) ≤ d(u, v),  (21)

entonces lim_{n→∞} d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē) = 0. Y además es fácil ver que,

χ_{i}(\overline{xy}) = χ_{i}(\overline{x})χ_{i}(\overline{y}).

Veamos que la métrica d_{χ_{i}}^{∗} satisface la siguiente propiedad,

|χ_{i}(x̄) − 1| < |χ_{i}(ȳ) − 1| ⇒ d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē).  (22)

En efecto, considere la siguiente función continua

f : G → ℝ
f(g) =| χ_{i}(g) − 1 | .

En el subconjunto conexo B̄(e, r) de G [5], donde r = Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē), se cumple que f(e) ≤ f(x) ≤ f(y), solo bastaría ver que f(y) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē). Como d es Lipschitz tenemos |χ_{i}(y) − 1| ≤ Nd(y, e), usando (20) implicamos que |χ_{i}(y) − 1| ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē), entonces f(y) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē). Por el teorema del valor intermedio existe un z ∈ B(e, r) tal que f(z) = f(x), es decir, existe un z ∈ G tal que d(z, e) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē) y |χ_{i}(z)−1| = |χ_{i}(x)−1|, de esta igualdad implicamos que χ_{i}(z) = χ_{i}(x) o χ_{i}(x) = \overline{χ_{i}(z)}. En el caso χ_{i}(z) = χ_{i}(x) tenemos d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) ≤ d(z, e) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē). Para el caso χ_{i}(x) = \overline{χ(z)} usamos las igualdades d(z, e) = d(z^{−1}, e) y \overline{χ_{i}(z)} = χ_{i}(z^{−1}) que son inmediatas, entonces nuevamente por (20) tenemos d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) ≤ d(z^{−1}, e) = d(z, e) ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(ȳ, ē).

Utilizando el hecho de que el grupo es compacto, podemos afirmar que dado un x̄ ≠ ē en G/H_{χ_{i}}, existe un n ∈ ℕ tal que

d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē) < Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) < d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē).

Usando la contrarrecíproca de (22) tenemos

|χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1| ≤ |χ_{i}(x̄) − 1|.

De aquí, obtenemos

\frac{|χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1|}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē)} ≤ \frac{|χ_{i}(x̄) − 1|}{Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē)}.  (23)

En el caso que d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē) < Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) = d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē) implicamos de (22) que |χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1| ≤ |χ_{i}(x̄) − 1|, lo que significa que la desigualdad (23) se sigue verificando. Por lo tanto, de (23) podemos deducir que:

\frac{|χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1|}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)} \frac{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē)} ≤ \frac{|χ_{i}(x̄) − 1|}{Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē)}.  (24)

Pero sabemos que |χ_{i}(x) − 1| ≤ Nd(x, e) ya que χ_{i} ∈ Lip_{1}(G), además

d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē) = inf {d(z, t)/z ∈ H_{χ_{i}}x ∧ t ∈ H_{χ_{i}}e}

y por las propiedades del ínfimo, para cualquier x ∈ G,

|χ_{i}(x) − 1| ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē).  (25)

De (21) y (25) tenemos

d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē) ≤ d(x_{n}, e)

y

|χ_{i}(x_{n+1}) − 1| ≤ Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē),

entonces

\frac{|χ_{i}(x_{n+1}) − 1|}{d(x_{n}, e)} ≤ N \frac{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē)}.  (26)

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Por otro lado, de la desigualdad (19) tenemos

\frac{M^{2}}{N^{2}} |χ_{i}(x_{n}) − 1| ≤ |χ_{i}(x_{n+1}) − 1|,

de esto y la desigualdad (26), obtenemos

\frac{M^{2}}{N^{2}} \frac{|χ_{i}(x_{n})−1|}{d(x_{n},e)} ≤ \frac{|χ_{i}(x_{n+1})−1|}{d(x_{n},e)} ≤ N \frac{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1},ē)}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n},ē)}.

Lo cual implica junto con (17) la siguiente relación

\frac{M^{2}}{N^{2}} M ≤ \frac{M^{2}}{N^{2}} \frac{|χ_{i}(x_{n}) − 1|}{d(x_{n}, e)} ≤ N \frac{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē)}.

Es decir,

\frac{M^{3}}{N^{3}} ≤ \frac{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n}, ē)}.  (27)

Procediendo de la manera anterior, de las desigualdades

d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē) ≤ d(x_{n+1}, e)

y

|χ_{i}(x_{n+1}) − 1| = |χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1|,

y considerando la desigualdad (15), tenemos

M ≤ \frac{|χ_{i}(x_{n+1}) − 1|}{d(x_{n+1}, e)} ≤ \frac{|χ_{i}(x̄_{n+1}) − 1|}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄_{n+1}, ē)}.  (28)

Combinando las desigualdades (24), (27) y (28) deducimos que para todo x̄ ≠ ē se satisface

\frac{M^{4}}{N^{3}} ≤ \frac{|χ_{i}(x̄) − 1|}{Nd_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ē)}.

En general para todo χ_{i} ∈ Γ y todo x̄ ≠ ē, la desigualdad anterior es válida. Por las propiedades de los χ_{i} y tomando en cuenta que las métricas d_{χ_{i}}^{∗} son invariantes. Entonces para cada χ_{i} ∈ Γ si x̄, ȳ ∈ G/H_{χ_{i}}. Para x̄ ≠ ȳ se cumple

\frac{M^{4}}{N^{2}} ≤ \frac{|χ_{i}(x̄) − χ_{i}(ȳ)|}{d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ȳ)}.  (29)

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Ahora definimos la métrica d̃en G como:

d̃(x, y) = d_{χ_{1}}^{∗}(x̄, ȳ) + d_{χ_{2}}^{∗}(x̄, ȳ) + ⋯ + d_{χ_{r}}^{∗}(x̄, ȳ).

Verificar que d̃ es una métrica se deduce del hecho de que dado a ∈ G, a ≠ e hay un carácter χ ∈ Γ tal que a ≠ 1 [2]. De aquí, si d̃(x, y) = 0 entonces x = y, las demás propiedades se verifican fácilmente.

La métrica d̃es acotadamente equivalente con la métrica

d̂(x, y) = max_{1≤i≤r} {d_{χ_{i}}^{∗}(x̄, ȳ)} .  (30)

De las desigualdades (25) y (29) obtenemos para cualquier x, y ∈ G, se verifica

\frac{M^{4}}{N^{2}} d̂(x, y) ≤ d_{B}(x, y) ≤ Nd̂(x, y).

Corolario 1 Si G = T y d una métrica invariante en T. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. d es una métrica Lipschitz compatible y satisface (12).

2. d es acotadamente equivalente d_{B}.

Demostración. Como G=T. Entonces el carácter identidad es inyectivo y es un generador de Γ. De aquí la igualdad (20) implica que d̂= d, lo cual implica que d es acotadamente equivalente a d_{B}. Inversamente sabemos que d_{B} es Lipschitz compatible y se puede construir una sucesión en T de tal forma que la métrica d_{B} satisface (12). Como d es acotadamente equivalente a d_{B} entonces d es Lipschitz compatible y se comprueba fácilmente que también satisface (12).

4 Conclusiones

Si en los espacios topológicos de la forma T^{r} queremos hablar de aproximación trigonométrica generalizada para funciones de Lipschitz, la métrica involucrada en estos espacios debe cumplir con ciertos requisitos, por ejemplo, que los caracteres pertenezcan al espacio de Lipschitz. Es una de las razones por la que trabajamos con métricas llamadas Lipschitz compatibles. Podríamos decir que la métrica d_{B}, en cierto sentido, es una métrica canónica, pues en el caso de T cualquier métrica Lipschitz compatibles es acotadamente equivalente a d_{B} lo que significa que generan el mismo espacio topológico y la aproximación se podría realizar utilizando d_{B}. En el caso de espacios topológicos de la forma T^{r} con r > 1 encontramos que si cualquier métrica Lipschitz compatible cumple con cierta condición, entonces esta métrica genera una métrica Lipschitz compatible que es acotadamente equivalente a d_{B}. Y podríamos hablar en estos espacios topológicos de que la aproximación por polinomios generalizados es posible.

Agradecimientos

Nuestro agradecimiento a la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Del mismo modo, queremos reconocer profundamente el trabajo de los revisores de la revista por todas sus observaciones, las cuales hicieron crecer la calidad de nuestro artículo.

Financiamiento

Los autores no han recibido financiamiento, el artículo ha sido escrito con sus propios recursos.

Referencias

[1] H. Abels, Reductive groups as metric spaces, in: T.W. Müller (Ed.) Groups: topological, Combinatorial and arithmetic aspects (Bielefeld, 1999), London Mathematical Society Lecture Notes 311, Cambridge University Press, Cambridge, 2004 pp. 1–20. Doi: 10.1017/CBO9780511550706

[2] E. Hewitt, K.A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Vol. I, Structure of Topological Groups, Integration Theory, Group Representations, 2nd Edition, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 115, Springer,1979. Doi: 10.1007/978-1-4419-8638-2

[3] L. Leindler, A. Meir, V. Totik, On approximation of continuous functions in Lipschitz norms, Acta. Math. Hung. 45(1985), no. 3-4, 441–443. Doi: 10.1007/BF01957041

[4] H. Reiter, J.D. Stegeman, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, Clarendon Press, Oxford, 2000.

[5] W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Interscience, New York NY, 1962.

[6] J. Schiff, S. Shnider, Lie groups and error analysis, Journal of Lie Theory, 11(2001), no. 1, 231–254.

[7] D. Sherbert, Banach algebras of Lipschitz functions, Pacific J. Math. 13(1963), no. 4, 1387–1399. Doi: 10.2307/1994243

[8] A. Ziv, Relative distance an error measure in round off error analysis, Math. Comp. 39(1982), 563–569. Doi: 10.2307/2007334

[9] N. Weaver, Subalgebras of little Lipschitz algebras, Pacific Journal of Mathematics 173(1996), no. 1, 283–293.